Теоретико-методичні основи вивчення множення та ділення цілих невід'ємних чисел в межах ста
ПЛАН
1. Теоретико-методичні основи початкового ознайомлення школярів з діями множення і ділення.
2. Теоретико-методичні основи розгляду табличних випадків множення і ділення.
3. Теоретико-методичні основи вивчення особливих випадків множення і ділення з числами 0, 1, 10.
4. Теоретико-методичні основи розгляду позатабличних випадків множення і ділення у концентрі «Сотня» («Тисяча»).
5. Теоретико-методичні основи вивчення ділення з остачею.
Випадки множення чисел 0, 1 і 10 розкриваються на основі конкретного смислу дії множення як додавання однакових доданків. Вчитель пропонує дітям знайти добуток 15. Якщо діти не запропонують спосіб обчислення 15=1+1+1+1+1, то вчитель попросить їх замінити приклад на множення прикладом на додавання. Отже, діти отримають 15=5. Після цього вчитель повинен запропонувати дітям відповісти на запитання: чому дорівнював перший множник? – 1. Чому дорівнював другий множник? – 5. Що можна сказати про другий множник і одержаний добуток? – вони однакові. Що ми одержали при множенні 1 на число 5? – число 5. (тут вчителеві дуже важливо уточнити: при множенні одиниці на 5 у добутку дістанемо 5, тобто число, на яке множили. Пізніше важливо узагальнювати висновок у формі: при множенні одиниці на будь-яке число у добутку дістанемо число, на яке множили. Аналогічно розглядається кілька прикладів виду 14, 13, 18, 02, 05, 09 тощо. Підсумком проведеної роботи повинні стати сформульовані відповідні правила, які узагальнюються у вигляді символічного запису:
При множенні одиниці на будь-яке число у добутку дістаємо число, на яке множили одиницю | 1 а = а |
При множенні нуля на будь-яке число у добутку дістаємо нуль | 0 а = 0 |
При множенні будь-якого числа на одиницю у добутку маємо те саме число | а 1 = а |
При множенні будь-якого числа на нуль у добутку дістаємо нуль | а 0 = 0 |
Випадки ділення на 1 і випадки ділення рівних чисел вводяться на індуктивній основі з використанням зв'язку між діями множення і ділення. Пропонуємо учням з прикладу на множення 17=7 скласти два приклади на ділення.
17=7 1а=а
7:1=7 а:1=а
7:7=1 а:а=1
Розглянувши аналогічно кілька таких самих прикладів, пропонуємо учням сформулювати загальне правило: при діленні будь-якого числа на одиницю дістанемо це саме число. Це правило узагальнюється у вигляді символічного запису а : 1 = а. Аналогічно одержується правило і символічний запис а : а = 1. Так само вводиться правило ділення нуля на будь-яке число та відповідний символічний запис 0 : а = 0.
Ознайомлюючи дітей з правилами ділення на 1, ділення рівних чисел та ділення нуля, ми використовували зв’язок між діями множення і ділення, а тому у дітей може виникнути запитання: а чому з прикладу на множення 03=0 ми складали лише один приклад на ділення 0:3=0? У цьому випадку вчитель пояснює дітям, що в математиці ділити на нуль не можна, бо не можна, наприклад, 6 поділити на 0, адже не існує такого числа, при множенні якого на 0 дістанемо 6. Отже, будемо користуватися правилом: ділити на нуль не можна.
Випадки множення числа 10 вводяться:
1) використовуючи конкретний смисл дії множення. Наприклад.103=10+10+10=30(по 10 взяли 3 рази);
2) переставну властивість множення. Наприклад.103=310=3+3+3+3+3+3+3+3+3+3=30;
3)звести ці випадки до особливих випадків множення.
Наприклад.103=30 1дес. 3=3дес.
Випадки множення на 10 вводять на основі правила: щоб помножити число на 10, треба до нього справа приписати один нуль.
Випадки ділення на 10 вводяться на індуктивній основі з використанням зв'язку між діями множення і ділення, завершується формулюванням такого правила: щоб поділити кругле число на 10, треба в ньому відкинути справа один нуль.
4. Теоретико-методичні основи розгляду позатабличних випадків множення і ділення у концентрі «Сотня» («Тисяча»).
Позатабличні випадки множення і ділення – це усні прийоми обчислень, теоретичною основою яких є властивості арифметичних дій:
1. Переставна властивість множення. ав=ва
2. Сполучний закон дії множення.
Правило множення добутку на число (а в) с = а (в с)
Правило множення числа на добуток а ( в с) = (а в) с
3. Розподільний закон.
Правило множення суми на число
(Правий дистрибутивний закон множення відносно додавання)
(а + в) с = а с + в с
правило множення числа на суму
(лівий дистрибутивний закон множення)
а ( в + с ) = а в + а с
4.Ділення числа на добуток.
а : (в с) = а : в : с
5.Ділення добутку на число.
(а в) : с = а : с в = а (в : с)
6.Ділення суми на число.
(а + в) : с = а : с + в : с
7. Множення добутку на добуток.
(ав) (сd)=(ас) (вd)
8. Ділення добутку на добуток.
(ав):(сd)=(а:с) (в:d)
До позатабличних випадків множення і ділення у концентрі «Сотня» («Тисяча») відносяться:
1) випадки множення і ділення круглих чисел на одноцифрове число, наприклад: 303, 40:2 (2004, 900:3);
2) випадки ділення двоцифрового числа на двоцифрове число, наприклад, 54:18 (400:50). Тут розглядається така властивість дії: правило ділення числа на добуток;
3) випадки ділення круглого двоцифрового числа на кругле двоцифрове, наприклад: 60:30 (800:400);
4) випадки множення двоцифрового числа на одноцифрове та одноцифрового числа на двоцифрове, наприклад: 243, 328 (3602, 3320). Тут розглядаються такі властивості дій: правило множення суми на число та числа на суму, переставний закон множення;
5) випадки ділення двоцифрового числа на одноцифрове число, наприклад: 39:3, 72:3, 50:2 (690:3,810:3, 600:5). Тут розглядається ще й така властивість дії: правило ділення суми на число;
6) випадки ділення двоцифрового числа на двоцифрове, наприклад: 42:14 (125:25). Тут розглядається правила перевірки дій множення і ділення, спосіб випробування.
Ознайомлення з вказаними правилами проводиться перед введенням відповідних прийомів обчислень, бо вони є теоретичною основою цих прийомів.
1. Випадки множення і ділення круглих чисел на одноцифрове число, наприклад: 304, 40:2 (2004, 900:3), зводяться до табличного множення і ділення іменованих чисел:
304=120 2004=800
3 дес4=12дес=120 2сот.4=8сот.=800
40:2=20 900:3=300
4дес.:2=2дес. 9сот.:3=3сот.