У плані функціональної пропедевтики поняття функції вжи­ватимемо у вузькому розумінні — як зв'язок між змінними вели­чинами.

З метою формування уявлень молодших школярів про змінні та сталі величини, про зв'язки між величинами у чинних під­ручниках з математики подаються вправи з таблицями, вправи на знаходження значень виразів із змінною, задачі з пропор­ційними величинами.

У початкових класах учні ознайомлюються з вимірюванням деяких величин (довжина, площа, маса, час), встановлюють зв'яз­ки між величинами: ціна, кількість і вартість; маса одного предме­та, кількість предметів і загальна маса; швидкість, час і відстань за рівномірного руху тіла тощо. Діти спостерігають, як змінюється результат арифметичної дії від зміни компонентів. Названі вели­чини попарно перебувають у різних видах залежностей: прямо пропорційній (ціна і вартість, множник і добуток); обернено про­порційній (ціна і кількість, дільник і частка); лінійній (доданок і сума, зменшуване і різниця).

Завдання вчителя полягає в тому, щоб під час виконання від­повідних вправ спрямувати увагу учнів на ці зв'язки і залежності. При цьому, звичайно, не використовують відповідні терміноло­гію й символіку. Ознайомлення дітей з функціональною залежні­стю відбувається в неявному вигляді. Вчитель оперує лише слова­ми «залежність», «змінна величина».

У початкових класах функціональну залежність між вели­чинами здебільшого описують словами та показують її за допомо­гою таблиці.

Словесний спосіб використовується при розв'язуванні задач, в яких розглядаються взаємопов'язані величини.

Задача. У склянки з чаєм розклали 12 грудок цукру, по 2 грудки в кожну. На скільки склянок вистачило цього цукру?

Бесіда. Виконаємо малюнок (мал.). Намалюємо 12 кружеч­ків і підкреслимо кожні два кружечки.

Запишемо розв'язання задачі. 12 : 2 = 6 (скл.) Дізнаємося, на скільки вистачить цього цукру, якщо у кожну склянку класти по 3 грудочки цукру (мал. 110).

Запишемо розв'язання задачі. 12:3=4 (скл.) З'ясуємо, на скільки склянок вистачило б цього цукру, якщо у кожну склянку класти по 4 грудочки (мал. 111).

Запишемо розв'язання задачі. 12 : 4 = 3 (скл.)

Розглянемо малюнки ще раз. Якщо клали по 2 грудочки цук­ру, то його вистачило на 6 склянок, по 3 грудочки —на 4 склянки, по 4 грудочки — на 3 склянки. В якому випадку склянок з чаєм менше? (В останньому, бо тут клали по 4 грудочки цукру). Отже, чим більше кладемо грудочок у кожну склянку, тим менше діста­ємо склянок чаю з цукром.

Між кількістю грудочок цукру і кількістю склянок з чаєм існує певна залежність.

Табличний спосіб передбачений багатьма вправами, в яких є функціональна залежність між змінними. Наведемо приклад.

Вправа. Складіть усі можливі приклади на додавання одноци-фрових чисел з відповіддю 12.

Під час виконання цієї вправи можна скласти таблицю.

12 3 4 5 6 7 8 9
9 10 11 12 13 14 15
За допомогою таблиці встановлюється функціональна за­лежність значень другого доданка від значень першого.

Розглянемо основні види функціональних залежностей, з якими зустрічаються молодші школярі у початковому курсі математики.

Лінійна залежність. Знаходження значень таких виразів, як 5 • я + 7, 9 • а - 3,100 - а • 2 є не що інше, як знаходження значень функції для заданих значень аргументів. Аргументом виступає змінна а, функцією — вираз з цією змінною. З вправами на знахо­дження значень виразів учні час від часу зустрічаються, але бажа­но посилити увагу до випадків впорядкованої множини змінної.

Вправа. Знайдіть значення виразу 5 • а + 7, якщо а набуває зна­чень одноцифрових чисел. Побудуйте таблицю і запишіть у ній значення змінної а і значення виразу 5 • а + 7.

а 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 • а + 7 7 12 17 22 27 32 37 42 47 52
Бесіда. Найменше значення змінної а дорівнює 0, найбільше зна­чення 9. Кожного разу значення змінної збільшується на одиницю. Як змінюється при цьому значення виразу 5 • а + 7? (Збільшується кожного разу на 5).

Якщо значення змінної а дорівнює 5, то яке значення виразу? (Значення виразу дорівнює 32). Кожному значенню змінної від­повідає єдине значення виразу.

Одним з видів лінійної залежності є зміна результатів дій пер­шого ступеня від зміни одного з компонентів. учні мають розумі­ти характер зміни результатів дій залежно від зміни одного з ком­понентів і мати уявлення про кількісні зміни (в такій залежності).

Задачі на лінійну залежність величин широко подані в почат­ковому навчанні. До них, зокрема, належать усі прості задачі на дії першого ступеня. Серед задач на дві дії з лінійною залежністю величин типовим представником буде така задача.

Задача. Маса півня 3 кг, а індика 14 кг. Скільки кілограмів стано­вить маса 1 півнів і одного індика? (З • 7 + 14).

З метою розкриття лінійної залежності можна до цієї задачі поставити запитання: скільки кілограмів становить маса одного півня й індика? двох півнів та індика? трьох півнів та індика?

Робота над задачами ведеться в звичайному методичному плані. Але час від часу треба звертати увагу учнів на характер залеж­ності між величинами, змінювати числові дані в задачі і потім по­рівнювати її з попередньою.

Прямо пропорційна залежність. Задачі з пропорційними вели­чинами займають вагоме місце в початковому курсі математики. Це задачі, в яких величини перебувають у прямо пропорційній залежності (ціна товару і вартість, маса одного ящика з овочами і загальна маса, кількість виробів і тривалість часу їх виготовлення, швидкість руху і відстань, довжина сторони квадрата і його пери­метр тощо). В прямо пропорційній залежності знаходяться множ­ник і добуток (якщо сталий інший множник), частка і ділене (коли стал и й дільник).

У ході розв'язування простих задач на прямо пропорційну за­лежність в учнів мають бути сформовані чіткі уявлення про хара­ктер тих взаємозв'язків між величинами, на основі яких розв'язує­ться задача. У цьому допомагають: наочна інтерпретація задачі; практичне розв'язування задачі; зміна одного з даних задачі з на­ступним порівнянням задач. Розглянемо приклад.

Задача. Пшоно розсипали в торбинки. У п'яти однакових торбин­ках 15 кг пшона. Скільки кілограмів пшона в трьох таких торбинках?

Після розв'язування задачі можна скласти таку табличку:

Кількість торбинок 2 4 6
Кількість пшона 6 12 18

Бесіда. Якщо було дві торбинки, то в них було 6 кг пшона. У скільки разів збільшилась кількість торбинок у другому стовпчи­ку? (У 2 рази). Порівняйте, у скільки разів збільшилася кількість пшона у другому стовпчику? (У 2 рази). Порівняємо числа першо­го і третього стовпчиків. У скільки разів збільшилась кількість тор­бинок? (У 3 рази). А в скільки разів збільшилась кількість пшона? (Теж у 3 рази). Отже, у скільки разів збільшилась кількість торби­нок, у стільки ж разів збільшилась і кількість пшона.

Обернено пропорційна залежність. В обернено пропорційній зале­жності знаходяться: ціна і кількість товару, час і швидкість руху, діль­ник і частка тощо.

Розглянемо розв'язання задачі, в якій величини знаходяться в обернено пропорційній залежності.

Задача. Для дитячого садка на 24 грн. закупили фарби для малю­вання ціною по 2 грн. за коробку. Скільки коробок фарб купили для ди­тячого садка?

Розв'язавши задачу, доцільно з'ясувати з учнями, скільки мож­на купити за ці гроші коробок фарб, ціна яких у 2 рази більша, у З рази більша; звернути їх увагу на те, що при збільшенні ціни у два (три, чотири) рази, кількість коробок фарб, які можна купити за 24 грн., відповідно зменшується у два (три, чотири) рази.

Отже, при розв'язуванні задач з пропорційними величинами за допомогою відповідних запитань можна добитися певного уяв­лення учнів початкових класів про функціональну залежність.

Використання буквеної символіки для узагальнення знань. Тра­диційно вважається, що в початкових класах учні розв'язують ба­гато однорідних вправ, порівнюють їх, знаходять спільні ознаки, роблять висновки й узагальнення. Але у навчанні молодших шко­лярів узагальнення нерідко відбувається і на основі розв'язку од­ного — двох прикладів чи конкретної задачі, яка є представником певного виду задач. У такий спосіб учні ознайомлюються, зокре­ма, з алгоритмами арифметичних дій, з деякими новими видами задач.

Найпростіший прийом узагальнення при цьому є заміна чис­лових даних буквами.

Буквене позначення компонентів і результатів арифметич­них дій. Під час введення буквеного позначення компонентів бесі­ду здебільшого проводять на основі задачі. Наведемо зразок.

Задача. В одній отарі 180 овець, а в другій 210. Скільки всьогоовець у двох отарах?

Як дізнатися скільки всього овець у двох отарах? (Треба додати числа 180 і 210). Замість чисел 180 і 210 можуть бути й інші числа. Якщо числа змінюються, то зручніше їх позначати буквами. Мо­жемо вважати, що в одній отарі я овець, а в другій — bовець. Скіль­ки овець тоді буде в обох отарах разом? (а + Ь). Якщо цю суму по­значити буквою с, то дістанемо таку рівність: а + b= с. Як називаю­ться числа а і b? (Доданки). Як називається число с? (Сума). Сумою називають також і вираз а + b.

Подібні бесіди проводяться і для решти арифметичних дій: а b= с, а b = с, а : b = с.

УЗ (2) класі узагальнюються випадки дій, пов'язаних з числами 1 і 0: а • 1 = а, а : а = 1, а : 1 = а, а + 0 = а, а - а = 0, 0 • а = 0, 0 : a= О, Застосування тут буквеної символіки допомагає дітям давати пра­вильні пояснення. Наприклад, для випадку а • 0 = 0: при мно­женні числа на нуль дістаємо нуль, тому 0-0 = 0.

Буквене позначення зв'язків між компонентами і результатами ари­фметичних дій. У початковій школі опрацьовують задачі на зна­ходження невідомого компонента. Проте правила знаходження невідомих компонентів у підручниках не подаються. Це пояснює­ться тим, що вчителі занадто вимогливо ставляться до заучування учнями правил напам'ять. Зрозуміло, що під час пояснення зв'яз­ків учитель формулює правило, але не вимагає його заучувати.

Зв'язки між компонентами і результатами дій широко ви­користовуються для перевірки правильності обчислень. Розглянемо одну з вправ з погляду її узагальнюючої ролі. Закінчіть обчислення.

6-3 = 18 7 • 4 = 28 5 • 7 = 35 6 • 5 = 30

18:6 = 32 8:7 = 4 35:5 = *30:5 = *

Учитель з'ясовує, що дістанемо, коли добуток поділимо на один з множників, і робить узагальнення: «Якщо а b= с,то чому дорів­нює частка с : а? частка с : b

Вправа дає змогу учню самостійно сформулювати правило: частка від ділення добутку двох чисел на один з множників дорівнює другому множнику. Такий підхід має певні переваги над заучуванням правила за підручником.

Використання букв для запису властивостей арифметичних дій за­проваджується в процесі вивчення дій в концентрі «Багатоцифрові числа». В більш систематизованому вигляді з цією метою буквена символіка подана в матеріалах для повторення в кінці року. В обох випадках буквені записи подаються після словесного фор­мулювання властивостей. Це означає, що буквені записи виступа­ють не як вищий рівень узагальнення, а як лаконічний засіб уна­очнення властивостей. У підручнику в буквеному записі подаю­ться такі властивості:

а+ b = b + а — переставний закон додавання;

а + b+ с = а +(b+ с)— сполучний закон додавання;

а- (b+ с), (а - b) - с — записи про властивість різниці, пов'язаної з різними способами обчислення зазначених виразів;

а b = ba— переставний закон множення;

а b • с = а с) — сполучний закон множення;

(а+ b + c)–k=a–k + b–k + c–k— розподільний закон множення відносно додавання;

c–(a-b) = c–a-c–b— розподільний закон множення відносно віднімання.

З основними властивостями арифметичних дій в практичному плані учні зустрічаються неодноразово, тому їх буквене узагаль­нення не викликає утруднень. Проте слід мати на увазі, що в кінці навчального року матеріал подається в довідково-описовому ви­гляді. Це матеріал для побудови вчителем зв'язної розповіді. Його не варто пропонувати учням для заучування.

Характеристика роботи

Реферат

Кількість сторінок: 7

Безкоштовна робота

Закрити

Формування уявлень учнів про функціональну залежність

Замовити дану роботу можна двома способами:

  • Подзвонити: (097) 844–69–22
  • Заповнити форму замовлення:
Не заповнені всі поля!
Обов'язкові поля до заповнення «ім'я» і одне з полів «телефон» або «email»

Щоб у Вас була можливість впевнитись в наявності обраної роботи, і частково ознайомитись з її змістом, ми можемо за бажанням відправити частини даної роботи безкоштовно. Всі роботи виконані в форматі Word згідно з усіма вимогами щодо оформлення даних робіт.