Использование теории групп в кристаллографии

ЗМІСТ

Вступ

Розділ 1. Основні теоретико-групові поняття

1.1. Порядок елемента. Твірні елементи групи

1.2. Фактор-група

1.3. Гомоморфізми груп

Розділ 2. Група трансляцій кристала та її властивості

Висновки

Література  

Розділ 2. Група трансляцій кристала та її властивості

Кристалографія була першою областю природознавства, в якій застосування методів теорії груп дало можливість отримати важливі результати, що стосуються властивостей кристалів – твердих тіл, які характеризуються правильним періодичним розташуванням у просторі своїх структурних елементів – атомів, іонів або молекул, внаслідок чого ці тіла мають форму многогранників.

Якщо атоми кристала вважати точками, то його структура буде характеризуватися деякою правильною системою точок у просторі.

Нехай G – довільна група рухів площини або простору, тобто G є підгрупою площини Е(2) всіх рухів трьохвимірного простору. Тоді на множині всіх точок площини природнім чином задається дія групи G, а рух g є G довільну точку А переводить в точку g(A). При цьому множина точок G(А)={g(A)/ g є G} називається орбітою групи G, породженою точкою А.

Означення 2.1 Група G рухів площини або простору називається дискретною, якщо кожна її орбіта складається лише з ізольованих точок, тобто якщо для довільної точки В з орбіти G(А) можна вказати таку кулю з центром в точці В (у випадку площини – круг з центром в точці В), яка не містить ніяких інших, крім В, точки з орбіти G(А).

Прикладами дискретних груп є групи

< T > = {Tn | n Є Z}

, T = {Tn + m | n,m Є Z }

< T , T , T = {Tn + m + k | n,m,k Є Z }

породжені одним, двома або трьома паралельними перенесеннями на лінійно незалежні вектори , , .Орбіти останніх трьох груп називаються відповідно одно-, двох- та тривимірною гратками.

Означення 2.2. Множина F точок площини або простору називається фундаментальною областю групи G, якщо в цій множині є точки з кожної орбіти групи G, тобто F ∩G(A)≠0 для довільної точки А, причому жодні дві внутрішні точки множини F не належать одній орбіті групи G.

Означення 2.3. Довільна дискретна група рухів площини або простору з обмеженою фундаментальною областю називається кристалографічною групою.

Означення 2.4. Правильною точковою системою називається множина U точок площини або простору, яка задовольняє умовам :

1) Для будь-яких двох точок А,В є U існує такий рух g, що g(A)=В і g(С) є U для довільної очки С є U;

2) Будь-якій кулі (крузі для випадку площини) скінченого радіуса міститься лише скінчена кількість точок множини U (тобто в множині U немає точок згущення);

3) Існує така куля (круг) фіксованого радіусу, що всередині її (його) буде міститися принаймні одна точка множини U, де б не знаходився центр цієї кулі (круга), тобто рівномірно заповнення простору (площини) точками системи U.

Розглянемо будову підгрупи паралельних перенесень кристалографічної групи.

Нехай G - довільна плоска або просторова кристалографічна група. Т – множина всіх паралельних перенесень, що міститься в G. Оскільки для довільних перенесень t1, t2і для довільних рухів g рухи t1t2 , t1-1, g -1t1g. Знову є паралельними перенесеннями, то підмножина Т, є нормальним дільником групи G: Т є G.

Група <Т,T>, породжена двома паралельними перенесеннями площини на неколінеарні вектори і є кристалографічною, оскільки за її фундаменталь область можна взяти множину всіх точок паралелограма, побудованого на векторах , як на сторонах, тобто фундаментальна область цієї групи обмежена.

Група ,T,T>, породжена трьома паралельними перенесеннями простору на неколінеарні вектори ,, теж є кристалографічною: за її фундаментальну область можна взяти множину всіх точок паралелепіпеда, для якого вектори , , є ребрами.

Теорема 2.1. Множина Т всіх паралельних перенесень просторової кристалографічної групи G є нормальним дільником в G, що породжується трьома паралельними перенесеннями на неколінеарні вектори , , .

Оскільки група Т абелева і для довільних неколінеарних векторів переріз нескінченних циклічних груп, породжених цими векторами є тривіальними, то Т розкладається в прямий добуток трьох нескінченних циклічних груп Т=>.

Отже, група трансляцій кристала є нескінченною абелевою групою, всі нейтральні елементи якої мають нескінченний порядок.

У 1764 французький кристалограф аббат Р. Ж. Гаюі. Експериментально встановив другий основний закон огранки кристалів – закон раціональних параметрів: якщо за три осі кристала вибрати три його ребра, то взаємні нахили такі, що відрізки, які вони відтинають на осях кристала відносяться як цілі числа, тобто відрізки будуть кратні деяких основних одиниць.

Даний закон можна одержати абстрактно-теоретичним способом, застосувавши теоретико-груповий підхід.

Теорема 2.2. Якщо за три осі кристала вибрати три його ребра, то взаємні нахили такі, що відрізки, які вони відтинають на осях кристала відносяться як цілі числа, тобто відрізки будуть кратні деяких основних одиниць.

Доведення: Розглянемо просторову решітку деякого кристалу. Нехай осі координат , , прикладені до атома О.

││=a, ││=b, ││=c – параметри решітки кристала.


Група Т трансляцій даного кристала є прямим добутком трьох нескінченних циклічних груп Т=T1T2Т3, де T1, T2, Т3– групи трансляцій, що породжені відповідно векторами трансляцій τа=а, τс=с, τb=b. Очевидно T1, T2, Т3- є нескінченними циклічними групами.

Нехай деяка площина кристала π перетинає координатні прямі в точках A, B, C. Розглянемо групи G1, G2, G3породжені відповідно векторами , , . Очевидно, вони є нескінченними циклічними групами і G1≤ T1, G2≤T2, G3 ≤T3 .

Якщо α,β,γ – довжини відрізків, які відтинає площина кристала π на координатних осях, то вони дорівнюють відповідно порядкам фактор груп Тi /Giабо індексами | Тi :Gi |, i=1,2,3… Тобто

||= α=[Т1:G1]= |Т1 /G1 |

||=β=[Т2:G2]=|Т2 /G2|

||= γ=[Т3:G3]=|Т3/G3|

Із роботи [2] випливає, що кожна нетривіальна підгрупа нескінченної циклічної групи має скінчений індекс, який рівний деякому натуральному числу n. Так як групи G1,G2,G3породжені відповідно ненульовими векторами , , , то числа α, β, γ є натуральними числами. Отже, довільна площина кристала π відтинає на осях кристала відрізки, довжини яких виражаються натуральними числами.

Якщо площина кристала π паралельна до однієї із координатних площин, наприклад, до площини XOY, то вона не перетинає осі OX та OY. Тому ==0, а ≠0. Звідси α=||=0=||= β, γ≠0. Отже якщо площина кристала π паралельна до деякої координатної площини, то два числа із α, β, γ рівні 0, а третє відмінне від 0.

Аналогічно, якщо площина кристала π паралельна до деякої координатної осі, то в цьому випадку нулю дорівнює одне із чисел α, β, γ, а два інші відмінні від 0.

Висновки

Кристалографія була першою областю природознавства, в якій застосування методів теорії груп дало можливість отримати важливі результати, що стосуються властивостей кристалів – твердих тіл, які характеризуються правильним періодичним розташуванням у просторі своїх структурних елементів – атомів, іонів або молекул, внаслідок чого молекули цих тіл мають форму многогранників.

З проведених досліджень випливає, що теоретико-групові властивості знаходять широке застосування як у самій математиці для розв’язування задач різних типів, так і в природознавстві. У роботі розглянуто застосування апарату теорії груп у фізиці, а саме до вивчення властивостей кристалів. У 1764 французький кристалограф аббат Р.Ж. Гаюі експериментально встановив другий основний закон огранки кристалів – закон раціональних параметрів: якщо за три осі кристала вибрати три його ребра, то взаємні нахили такі, що відрізки, які вони відтинають на осях кристала відносяться як цілі числа, тобто відрізки будуть кратні деяких основних одиниць. У роботі цей закон виведений чисто математично із застосування властивостей теорії груп (теорема 2.2).

Література

1.Александров П. С. Введение в теорию групп. –М,: Наука, 1980.

2.Федоров Г. Ю. О бесконечных группах, все нетривиальные подгруппы которых имеют конечный индекс. – Успехи мат. Наук, 1951, т.6, №1, с.187 – 189.

3.Болтянский В.Г., Яглом И.М. Преобразования. Векторы. – М.: Просвещение, 1964.

4.Вейль Г. Симметрия. – М.: Наука, 1968.

5.Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия: Пер. с нем. – 3-е изд. – М.: Наука, 1981.

6.Гильде В. Зеркальный мир. – М.: Мир, 1982.

7.Гроссман И., Магнус В. Группы и их графы. – М.: Мир, 1971.

8.Дужин С. В., Чеботаревский Б. Д. От орнаментов до дифференциальных уравнений. – Минск: Вышедшая школа, 1988.

9.Калужнин Л. А., Сущанский В. И. Преобразования и перестановки. – М.: Наука, 1985.

10.Каргаполов В. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. – 2-е изд. – М.: Наука, 1977.

11.Киреев П. С. Введение в теорию групп и ее применение в физике твердого тела. – М.: Высшая школа, 1979.

12.Коба В.І. Нікелін М. А. Найпростіші геометричні перетворення. – К.: Рад. шк., 1978.

13.Кокстер Г. С.М. Введение в геометрию. – М.: Наука, 1966.

14.Компанеец А. С. О симметрии. – М.: Знание, 1965.

15.Компанеец А. С. Симметрия в микро- и макромире. – М.: Наука, 1978.

16.Крайчук О. В. Про деякі властивості групи трансляцій кристала/Фізика конденсованих високомолекулярних систем. Наукові записки РДГУ. Вип..2. – Рівне: РДГУ, 1997.

17.Крайчук О. В. Правильні мозаїки, групи симетрій яких є кристалографічними/Фізика конденсованих високомолекулярних систем. Наукові записки РДГУ. Вип..5. – Рівне: РДГУ, 1998.

18.Крайчук О. В. Напівправильні мозаїки, групи симетрій яких є кристалографічними/Фізика конденсованих високомолекулярних систем. Наукові записки РДГУ. Вип..7. – Рівне: РДГУ, 1999.

19.Марач В. С., Крайчук О. В. Вибрані лекції з алгебри. – Рівне; 1995.

20.Мурач М.М. Геометричні перетворення і симетрія. – Природа симетрії і симетрія природи. – К.: Рад. шк., 1987.

21.Мурач М.М. Математика в світі кристалів. – К.: Освіта, 1991.

22.Никулин В.В., Шафаревич И.Р. геометрия и группы. – М.: Наука, 1983.

23.Понарин Я.П., Скопец З.А. Перемещения и подобия плоскости. – К.: Рад. шк., 1982.

24.Семенович О.Ф. Геометрія. Групи перетворень. – К.; Рад. шк., 1971.

25.Сонин А.С. Постижение совершенства: симметрия, асимметрия, дисимметрия, антисимметрия. – М.: Знания, 1987.

26.Тарасов Л.В. Этот удивительный симметричный мир. – М.: Просвещение, 1982.

27.Хахамов Л.Р. Преобразования плоскости. – М.: Просвещение, 1979.

28.Шаскольская М.П. Очерки о свойствах кристаллов. – М.: Наука, 1978.

29.Шубников А.В. Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве. – М.: Наука, 1972.

Характеристики работы

Реферат

Количество страниц: 17

Бесплатная работа

Закрыть

Использование теории групп в кристаллографии

Заказать данную работу можно двумя способами:

  • Позвонить: (097) 844–69–22
  • Заполнить форму заказа:
Не заполнены все поля!
Обязательные поля к заполнению «имя» и одно из полей «телефон» или «email»

Чтобы у вас была возможность удостовериться в наличии вибраной работы, и частично ознакомиться с ее содержанием,ми можем за желанием отправить часть работы бесплатно. Все работы выполнены в формате Word согласно всех всех требований относительно оформления работ.