Использование теории групп в кристаллографии

ЗМІСТ

Вступ

Розділ 1. Основні теоретико-групові поняття

1.1. Порядок елемента. Твірні елементи групи

1.2. Фактор-група

1.3. Гомоморфізми груп

Розділ 2. Група трансляцій кристала та її властивості

Висновки

Література  

1.2 Фактор-група

Якщо Н - нормальний дільник групи G,то лівосторонній і правосторонній розклади групи Gза підгрупою Н збігаються, тобто аН=Надля довільногоелементаа є G. Тоді дануалгебраїчну операцію, задану в групі G, можна поширити на множину суміжних класів групи Gза підгрупою Ннаступним чином: аНbН=аbНН=аbН. Зауважимо, що НН=Н, оскільки добуток двох елементів в підгрупі Нналежить Н, а домножаючи елементи з Н на нейтральний елемент е, отримаємо всю підгрупу Н. Наведене означення добутку суміжних класів є коректним, тобто не залежить від вибору конкретних представників у класах-співмножниках. Справді, якщо аН=а1Н, bН=b1Н, то а1=аh1, b1=bh2для деяких елементів h1, h2 є H,тому

а1Н b1Н = а1b1Н = аh1bh2Н = ab(bh1b)h2Н = abH = aHbH,

оскількиb-1h1b є Н. Операція множення класів асоціативна:

(aHbH)cH = abHcH = (ab)cH = a(bc)H = aHbcH = aH(bHcH);

нейтральним елементом цієї операції є суміжний клас

сН = Н:aHH = HaH=aН:

для кожного суміжного класу аН існує обернений клас

(аН)-1= а-1Н:aНa-1Н = a-1НН = aa-1Н = H.

Отже, множина всіх суміжних класів групи Gза нормальним дільником Н є групою відносно операцій множення класів. Ця група називається фактор-групою групи Gза нормальним дільником Ні позначається G/H. При цьому, як неважко зрозуміти, фактор-група G/ізоморфнасамій групі G, а фактор-група G/а. Ізоморфнатривіальній групі, . Якщо група Gабелева, то довільна ІІ фактор-група G/Hтеж абелева, оскільки з рівності аb=ba випливає рівність аНbН=аbH=bаН=bНаН. Більше того, якщо група G циклічна: G=, фактор-група G/H також циклічна: a=gk→aH=gk Н=(gН)k. У випадку, коли група G скінчена, порядок фактор-групи G/Hдорівнює індексу підгрупи Н в G, тобто є дільником порядку групи G. При цьому справджується рівність:│G│=│Н││G/H│.

Підмножина nZвсіх цілих чисел, кратних натуральному числу n, є підгрупою адитивної групи Z цілих чисел, причому нормальним дільником, оскільки група Zєабелева. Адитивна група Znкласів лишків за модулем nякраз і є не що інше, якфактор-група групи Zзапідгрупою nZ: Zn= Z/nZ.Група кватерніонів Q=1b|a2= b2=(ab)2>{e,a,a2,a3,b,b3, ab,ba} має чотири власні підгрупи: H1= {e,a2} , H2= {e,а,a2,a3}, H3= {e,b,a2,b3}, H4= {e,ab,a2,ba}. Івсівони є нормальними дільниками групи Q. Фактор-групаQ/H1={ H1,aH1,bH1,abH1}ізоморфна четвертій групі D2, а фактор-групи Q/H2={ H2,bH2}, Q/H3={ H3,aH1}, Q/H4={ H4,aH1}є циклічними групами порядку 2.

1.3 Гомоморфізми груп

Нехай φ:G→H - гомоморфізм групи Gна групу Н. Встановимо зв’язок між гомоморфізмами групи Gта ІІ нормальними дільниками.

Означення 1.8. Ядром гомоморфізму φ:G→H (позначається: Ker j) називається множина тих елементів групи G, які при відображенні jпереходять в одиничний елемент групи G, тобто Ker j = {g | g є G, J(g)=e}

Теорема 1.3 Гомоморфізм j: G→Hгрупи Gна групу Н є ізоморфізмом тоді і тільки тоді, коли Ker j = {e}.

Доведення. Справді кожний ізоморфізм j:G →H є гомоморфізмом, причому Ker j={e}, оскільки jє взаємно однозначним відображенням. Навпаки, якщо j:G→Hє гомоморфізмом групи Gна групу Нз тривіальним ядром, то j -ізоморфізм, бо з j(а)=j(b)випливає j(ab-1)=j(а)j(b-1)= =j(а)(j(b)-1)=е,звідки ab-1 є Ker j={e}, ab-1=е, а=b. Отже, j - взаємно однозначне відображення групи Gна групу Н, тобто ізоморфом.

Теорема 1.4. Ядро гомоморфізму j:G→Hє нормальним дільником групи G.

Доведення. Справді, згідно з властивостями гомоморфізму, для довільних a,b є Ker j j(ab)=j(а)j(b)=e, j(a-1)=( j(a-1)=e-1=e, звідки ab, a-1 є Ker j,тобто Ker jє підгрупою групи G. Крім того, для довільного елементаg є G j(g-1ag)=j(g-1)j(a)j(g)=(j(g))-1ej(g).

Нехай тепер N –довільний нормальний дільник групи G.Зіставляючикожному елементу g є G суміжний клас gN, отримаємо відображення j: G→G/N групи Gна фактор-групу G/N. Це відображення є гомоморфізмом, оскільки j(g1g2)=g1g2N=g1Ng2N=j(g1)j(g2), причому його ядро зберігається з підгрупою N. Справді, якщо g є N, то j(g)=g N=N,тобто g є Ker j. Отже, Ker j=N.

Теорема 1.5. Підгрупа Nгрупи GєІІнормальним дільником тоді і тільки тоді , коли N єядром гомоморфізму групи Gна деяку групу Н.

Характеристики работы

Реферат

Количество страниц: 17

Бесплатная работа

Закрыть

Использование теории групп в кристаллографии

Заказать данную работу можно двумя способами:

  • Позвонить: (097) 844–69–22
  • Заполнить форму заказа:
Не заполнены все поля!
Обязательные поля к заполнению «имя» и одно из полей «телефон» или «email»

Чтобы у вас была возможность удостовериться в наличии вибраной работы, и частично ознакомиться с ее содержанием,ми можем за желанием отправить часть работы бесплатно. Все работы выполнены в формате Word согласно всех всех требований относительно оформления работ.