загрузка...
загрузка...

Використання теорії груп у кристалографії

Характеристика роботи

Реферат

Кількість сторінок: 17

Безкоштовна робота

ЗМІСТ

Вступ

Розділ 1. Основні теоретико-групові поняття

1.1. Порядок елемента. Твірні елементи групи

1.2. Фактор-група

1.3. Гомоморфізми груп

Розділ 2. Група трансляцій кристала та її властивості

Висновки

Література  

Вступ

Актуальність роботи. Завдання будь-якої науки полягає в тому, щоб бачити спільне в речах, які на перший погляд здаються різними, і різне — в речах, які здаються однаковими. Якби ми були неспроможні при всій різноманітності явищ природи побачити в них якісь спільні риси, то, оче­видно, не змогли б і дослідити ці явища. Власне кажучи, будь-яке дослідження і полягає в тому, щоб зіставити досліджуване явище з уже знайомими нам явищами і знайти те, що споріднює його з ними, і те, що відрізняє його від них. Тенденція бачити спільне в різноманітних речах притаманна будь-якій науці. Вона властива й математиці. Математика, спостерігаючи явища навколишнього світу, помічає одну дуже істотну їх властивість — усі вони перебувають у певній залежності одне від одного, кожне з них є або причиною, або наслідком якихось інших явищ. Математика виразила цю загальну взаємозалежність одним поняттям, яке виявилося центральним в усій сучасній математиці, — поняттям функції.

Поняття функції не єдине поняття, яке об'єднує різні за характером речі. Іншим поняттям, яке також об'єднує різні речі, але вже на іншій основі, є поняття групи.

На протязі багатьох століть алгебра була наукою про рівняння. Так, квадратні рівняння вміли розв’язувати ще греки. Формули для розв’язування рівнянь 3-го і 4-го степенів були відкриті італійськими математиками в XVI ст. Після цього майже три століття продовжувалися спроби знайти подібні формули для рівнянь 5-го степеня, але вони не увінчалися успіхом. На початку XIX ст. причини цих невдач з’ясувалася: було доведено, що не можна було знайти загальну формулу коренів для алгебраїчних рівнянь степеня вище 4. Це доведення вперше було отримане італійським математиком П. Руфіні, а в більш строгій формі – норвезьким математиком Н. Абелем. Вичерпну ж відповідь на питання про умови, при яких алгебраїчне рівняння допускає розв’язання в радикалах, дав французький математик Е. Галуа в 1832 р. Його дослідження вказали нові напрямки в розвитку алгебри, що привело вже в ХХ ст. до формування нової точки зору на задачі алгебраїчної науки. Зараз вже є безсумнівним, що зовсім не вивчення рівнянь є центральною задачею алгебри. Справжнім об’єктом алгебраїчного дослідження слід вважати алгебраїчні операції, задані на множинах довільної природи.

Найбільш детально в алгебрі вивчають лише найважливіші алгебраїчні системи, тобто множини із заданими на них алгебраїчними операціями. Такими є, зокрема, поля, тобто множини з двома алгебраїчними операціями, властивості яких аналогічні властивостям додавання і множення дійсних або комплексних чисел. Теорія полів виявилась природною областю для подальшого розвитку теорії рівнянь, а два її найважливіші розділи – теорія полів алгебраїчних чисел з одного боку і з теорією функцій комплексної змінної з другого.

В наш час теорія груп є одним з найбільш розвинутих розділів алгебри, що має численні застосування як в самій математиці (теорія функцій, топологія, теорія алгебраїчних та диференціальних рівнянь), так і за її межами (кристалографія, теоретична фізика).

Поняття групи дозволяє в точних термінах охарактеризувати симетричність тої або іншої геометричної фігури. Саме з цих позицій російському кристалографу Е.С.Федорову в 1890 р. і майже одночасно з ним німецькому математику А.Шенфлісу вдалося розв’язати задачу класифікації правильних просторових систем точок, є однією з основних задач кристалографії – науки про будову і властивості кристалів. Простих кристалографічних груп існує всього 17 і вони були знайдені безпосередньо. Просторових же кристалографічних груп існує 230 і тільки теорія груп дозволила провести їх вичерпну класифікацію. Це був історично перший випадок застосування теорії груп безпосередньо в природознавстві.

Мета цієї роботи — вивчити основні поняття та властивості груп з метою застосування їх до вивчення властивостей кристалічних тіл.

Ціль роботи — за допомогою апарату теорії груп довести ІІ закон кристалографії.


Розділ 1. Основні теоретико-групові поняття.

1.1. Порядок елемента. Твірні елементи групи.

Означення 1.1. Нехай M - множина елементів довільної природи. Будемо говорити, що в M введено якусь алгебраїчну операцію, якщо довільним двом елементам a, b з M, заданим у певному порядку, поставлено у відповідність єдиний третій елемент с Є M.

Наведемо приклади таких алгебраїчних операцій:

1) Звичайні алгебраїчні операції (додавання, віднімання, множення та ділення) на множині дійсних чисел;

2) Якщо двом векторам площини , поставити у відповідність третій вектор , який шукається за правилом трикутника (паралелограма),то одержимо операцію додавання векторів;

3) Алгебраїчною операцією, заданої на множині дійсних чисел, є операція знаходження найбільшого спільного дільника двох чисел a, b і найменшого спільного кратного цих чисел.

Означення 1.2. Множину G елементів довільної природи, в якій введено якусь алгебраїчну операцію „*”, назвемо групою відносно цієї операції, якщо справджуються такі умови:

1.Асоціативність операції (а*b)*с=a*(b*c);

2.Існування такого елемента е, що для довільного а Є G а*е=а;

3.Існування для кожного а є G такого елемента , що а*=е.

Нехай а – довільний елемент групи G. Розглянемо послідовність ... , а-n, …,a-2 , a-1 , e , a , a2 , … , an , … , (1) де a-n =(an)-1 (вважаємо також, що а0=е , де е – нейтральний елемент).

З властивостей групи випливає, що всі елементи послідовності (1) є елементами групи G. Якщо серед них є рівні, наприклад, акm при k>m, то, домножаючи обидві частини цієї рівності на а-m, дістанемо: аk-m=e, отже, в цьому випадку деяка степінь елемента а з натуральним показником дорівнює нейтральному елементу.

Означення 1.3. Якщо серед членів послідовності (1) немає рівних, то а називається елементом нескінченного порядку (записують: |a|=∞). В протилежному випадку а називається елементом скінченого порядку і найменший натуральний показник nтакий, що аn=e, називається порядком елемента а (записують: |a|=n).

Якщо |a|=n , то серед елементів е=а0 , а , а2 , ... , аn-1немає рівних, бо інакше з рівності аkl , де k >l, 0 ≤ k1 , l , випливала б рівність аk-l=e. Звідки випливає, що кожний елемент скінченої групи має скінчений порядок, який не перевищує порядку самої групи. Зрозуміло також, що ||=1, причому це єдиний елемент групи, порядок якого рівний 1.

Означення 1.4. Говорять, що група породжується елементами aі, іN (записують: G=‹aі|і є N›), якщо елементами виду aіR1, …, aіmRm вичерпується вся група G, тобтоколи будь-який ІІ елемент можна подати у вигляді aіR1, …, aіmRm. Множина {ai/I є G}вцьому випадку називається системою твірних груп G.

Означення 1.5. Підмножина Н елемент групи Gназивається підгрупою (записують: H≤ G), якщо Н є групою відносно операції, заданої на G.

Очевидно, підмножина яка складається з одного елемента, є підгрупою довільної групи; їх підгрупа називається тривіальною. Сама група теж є підгрупою самої себе. Підгрупа Н групи G називається власною підгрупою якщо H≠ і H≠G.

Теорема 1.1. Підмножина Н групи G є підгрупою тоді і тільки тоді, коли Н замкнена відносно групової операції і взяття обернених елементів, тобто якщо виконуються наступні дві умови:

1)Са, Cb (a, b є H);

2) Ca (a-1 є H);

Доведення. Справді, якщо Н≤G, то Н сама є підгрупою відповідної операції, визначеної на множиніG, тому умови 1, 2 для Нвиконуються. Навпаки, якщо Н≤Gі виконуютьсяумови 1, 2, то Н сама є групою, бо в цьому випадку групова операція групи G, згідно з умовою 1, буде алгебраїчною операцією наН, причому асоціативною, бо вона асоціативна на G. Для кожного елемента а є Нв Н існує, згідно з умовою 2, обернений елемент а-1, а отже, в Нміститься і нейтральний елемент: е=aa-1 є H.

Означення 1.6. Нехай Н– довільна підгрупа G, а - елемент з G. Тодіпідмножина аН={ah/h є H}називається лівим суміжним класом групи Gза підгрупоюH, породжений елементом а. Аналогічно, підмножина На= {ha/h є Н} називається правим суміжним класом групи Gза підгрупою Н, породженим елементома.

Теорема 1.2. Два лівих (правих) суміжних класи за підгрупою Набо збігаються; або ж не мають спільних елементів.

Означення 1.7. Якщо множина лівих (правих) суміжних класів групи Gза підгрупою Ннескінчена, то говорять, що підгрупа Нмаєнескінчений індекс в групі G (записують: [G:H]=∞).Якщо ж множина суміжних класів скінчена, то їх кількість n називається індексом підгрупи Н в групі G (записують: [G:H]=n).

Приклади груп.

1) Множина Z цілих чисел відносно операції додавання є нескінченно абелевою групою. Вона називається адитивною групою цілих чисел. Аналогічно, множини Q раціональних, R дійсних і C комплексних чисел відносно операції додавання теж є нескінченним абелевими групами, які називаються адитивними групами відповідно раціональних, дійсних і комплексних чисел. Множина N не є групою відносно операції додавання, оскільки для неї не виконуються умови g1 іg3з означення групи. Множина N не є групою і відносно операції множення, оскільки в цьому випадку не виконується умова g2.

2) Множина, яка складається з одного елемента е, на якій задано бінарну операцію „*” умовою: е*е=е, очевидно є групою порядку 1. Ця група називається тривіальною. ІІ конкретними реалізаціями можуть бути або група, що складається з числа 0, відносно операції додавання, або ж група, що складається з числа 1, відносно операції множення.

3) Множина С2 = {1,-1}, що складається з двох цілих чисел 1 та -1, є абелевою групою порядку 2 відносно операції множення.

4) Множина Т(1) всіх векторів, паралельних фіксованій прямій, відносно операції додавання векторів є нескінченною абелевою групою. Аналогічно, множини Т(2) всіх векторів площини 1. Т(3) всіх векторів трьохвимірного простору є нескінченними абелевими групами відносно операції додавання векторів.