Формирование представлений учащихся о функциональной зависимости
У плані функціональної пропедевтики поняття функції вживатимемо у вузькому розумінні — як зв'язок між змінними величинами.
З метою формування уявлень молодших школярів про змінні та сталі величини, про зв'язки між величинами у чинних підручниках з математики подаються вправи з таблицями, вправи на знаходження значень виразів із змінною, задачі з пропорційними величинами.
У початкових класах учні ознайомлюються з вимірюванням деяких величин (довжина, площа, маса, час), встановлюють зв'язки між величинами: ціна, кількість і вартість; маса одного предмета, кількість предметів і загальна маса; швидкість, час і відстань за рівномірного руху тіла тощо. Діти спостерігають, як змінюється результат арифметичної дії від зміни компонентів. Названі величини попарно перебувають у різних видах залежностей: прямо пропорційній (ціна і вартість, множник і добуток); обернено пропорційній (ціна і кількість, дільник і частка); лінійній (доданок і сума, зменшуване і різниця).
Завдання вчителя полягає в тому, щоб під час виконання відповідних вправ спрямувати увагу учнів на ці зв'язки і залежності. При цьому, звичайно, не використовують відповідні термінологію й символіку. Ознайомлення дітей з функціональною залежністю відбувається в неявному вигляді. Вчитель оперує лише словами «залежність», «змінна величина».
У початкових класах функціональну залежність між величинами здебільшого описують словами та показують її за допомогою таблиці.
Словесний спосіб використовується при розв'язуванні задач, в яких розглядаються взаємопов'язані величини.
Задача. У склянки з чаєм розклали 12 грудок цукру, по 2 грудки в кожну. На скільки склянок вистачило цього цукру?
Бесіда. Виконаємо малюнок (мал.). Намалюємо 12 кружечків і підкреслимо кожні два кружечки.
Запишемо розв'язання задачі. 12 : 2 = 6 (скл.) Дізнаємося, на скільки вистачить цього цукру, якщо у кожну склянку класти по 3 грудочки цукру (мал. 110).
Запишемо розв'язання задачі. 12:3=4 (скл.) З'ясуємо, на скільки склянок вистачило б цього цукру, якщо у кожну склянку класти по 4 грудочки (мал. 111).
Запишемо розв'язання задачі. 12 : 4 = 3 (скл.)
Розглянемо малюнки ще раз. Якщо клали по 2 грудочки цукру, то його вистачило на 6 склянок, по 3 грудочки —на 4 склянки, по 4 грудочки — на 3 склянки. В якому випадку склянок з чаєм менше? (В останньому, бо тут клали по 4 грудочки цукру). Отже, чим більше кладемо грудочок у кожну склянку, тим менше дістаємо склянок чаю з цукром.
Між кількістю грудочок цукру і кількістю склянок з чаєм існує певна залежність.
Табличний спосіб передбачений багатьма вправами, в яких є функціональна залежність між змінними. Наведемо приклад.
Вправа. Складіть усі можливі приклади на додавання одноци-фрових чисел з відповіддю 12.
Під час виконання цієї вправи можна скласти таблицю.
12 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
Розглянемо основні види функціональних залежностей, з якими зустрічаються молодші школярі у початковому курсі математики.
Лінійна залежність. Знаходження значень таких виразів, як 5 • я + 7, 9 • а - 3,100 - а • 2 є не що інше, як знаходження значень функції для заданих значень аргументів. Аргументом виступає змінна а, функцією — вираз з цією змінною. З вправами на знаходження значень виразів учні час від часу зустрічаються, але бажано посилити увагу до випадків впорядкованої множини змінної.
Вправа. Знайдіть значення виразу 5 • а + 7, якщо а набуває значень одноцифрових чисел. Побудуйте таблицю і запишіть у ній значення змінної а і значення виразу 5 • а + 7.
а | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
5 • а + 7 | 7 | 12 | 17 | 22 | 27 | 32 | 37 | 42 | 47 | 52 |
Якщо значення змінної а дорівнює 5, то яке значення виразу? (Значення виразу дорівнює 32). Кожному значенню змінної відповідає єдине значення виразу.
Одним з видів лінійної залежності є зміна результатів дій першого ступеня від зміни одного з компонентів. учні мають розуміти характер зміни результатів дій залежно від зміни одного з компонентів і мати уявлення про кількісні зміни (в такій залежності).
Задачі на лінійну залежність величин широко подані в початковому навчанні. До них, зокрема, належать усі прості задачі на дії першого ступеня. Серед задач на дві дії з лінійною залежністю величин типовим представником буде така задача.
Задача. Маса півня 3 кг, а індика —14 кг. Скільки кілограмів становить маса 1 півнів і одного індика? (З • 7 + 14).
З метою розкриття лінійної залежності можна до цієї задачі поставити запитання: скільки кілограмів становить маса одного півня й індика? двох півнів та індика? трьох півнів та індика?
Робота над задачами ведеться в звичайному методичному плані. Але час від часу треба звертати увагу учнів на характер залежності між величинами, змінювати числові дані в задачі і потім порівнювати її з попередньою.
Прямо пропорційна залежність. Задачі з пропорційними величинами займають вагоме місце в початковому курсі математики. Це задачі, в яких величини перебувають у прямо пропорційній залежності (ціна товару і вартість, маса одного ящика з овочами і загальна маса, кількість виробів і тривалість часу їх виготовлення, швидкість руху і відстань, довжина сторони квадрата і його периметр тощо). В прямо пропорційній залежності знаходяться множник і добуток (якщо сталий інший множник), частка і ділене (коли стал и й дільник).
У ході розв'язування простих задач на прямо пропорційну залежність в учнів мають бути сформовані чіткі уявлення про характер тих взаємозв'язків між величинами, на основі яких розв'язується задача. У цьому допомагають: наочна інтерпретація задачі; практичне розв'язування задачі; зміна одного з даних задачі з наступним порівнянням задач. Розглянемо приклад.
Задача. Пшоно розсипали в торбинки. У п'яти однакових торбинках 15 кг пшона. Скільки кілограмів пшона в трьох таких торбинках?
Після розв'язування задачі можна скласти таку табличку:
Кількість торбинок | 2 | 4 | 6 |
Кількість пшона | 6 | 12 | 18 |
Бесіда. Якщо було дві торбинки, то в них було 6 кг пшона. У скільки разів збільшилась кількість торбинок у другому стовпчику? (У 2 рази). Порівняйте, у скільки разів збільшилася кількість пшона у другому стовпчику? (У 2 рази). Порівняємо числа першого і третього стовпчиків. У скільки разів збільшилась кількість торбинок? (У 3 рази). А в скільки разів збільшилась кількість пшона? (Теж у 3 рази). Отже, у скільки разів збільшилась кількість торбинок, у стільки ж разів збільшилась і кількість пшона.
Обернено пропорційна залежність. В обернено пропорційній залежності знаходяться: ціна і кількість товару, час і швидкість руху, дільник і частка тощо.
Розглянемо розв'язання задачі, в якій величини знаходяться в обернено пропорційній залежності.
Задача. Для дитячого садка на 24 грн. закупили фарби для малювання ціною по 2 грн. за коробку. Скільки коробок фарб купили для дитячого садка?
Розв'язавши задачу, доцільно з'ясувати з учнями, скільки можна купити за ці гроші коробок фарб, ціна яких у 2 рази більша, у З рази більша; звернути їх увагу на те, що при збільшенні ціни у два (три, чотири) рази, кількість коробок фарб, які можна купити за 24 грн., відповідно зменшується у два (три, чотири) рази.
Отже, при розв'язуванні задач з пропорційними величинами за допомогою відповідних запитань можна добитися певного уявлення учнів початкових класів про функціональну залежність.
Використання буквеної символіки для узагальнення знань. Традиційно вважається, що в початкових класах учні розв'язують багато однорідних вправ, порівнюють їх, знаходять спільні ознаки, роблять висновки й узагальнення. Але у навчанні молодших школярів узагальнення нерідко відбувається і на основі розв'язку одного — двох прикладів чи конкретної задачі, яка є представником певного виду задач. У такий спосіб учні ознайомлюються, зокрема, з алгоритмами арифметичних дій, з деякими новими видами задач.
Найпростіший прийом узагальнення при цьому є заміна числових даних буквами.
Буквене позначення компонентів і результатів арифметичних дій. Під час введення буквеного позначення компонентів бесіду здебільшого проводять на основі задачі. Наведемо зразок.
Задача. В одній отарі 180 овець, а в другій 210. Скільки всьогоовець у двох отарах?
Як дізнатися скільки всього овець у двох отарах? (Треба додати числа 180 і 210). Замість чисел 180 і 210 можуть бути й інші числа. Якщо числа змінюються, то зручніше їх позначати буквами. Можемо вважати, що в одній отарі я овець, а в другій — bовець. Скільки овець тоді буде в обох отарах разом? (а + Ь). Якщо цю суму позначити буквою с, то дістанемо таку рівність: а + b= с. Як називаються числа а і b? (Доданки). Як називається число с? (Сума). Сумою називають також і вираз а + b.
Подібні бесіди проводяться і для решти арифметичних дій: а – b= с, а • b = с, а : b = с.
УЗ (2) класі узагальнюються випадки дій, пов'язаних з числами 1 і 0: а • 1 = а, а : а = 1, а : 1 = а, а + 0 = а, а - а = 0, 0 • а = 0, 0 : a= О, Застосування тут буквеної символіки допомагає дітям давати правильні пояснення. Наприклад, для випадку а • 0 = 0: при множенні числа на нуль дістаємо нуль, тому 0-0 = 0.
Буквене позначення зв'язків між компонентами і результатами арифметичних дій. У початковій школі опрацьовують задачі на знаходження невідомого компонента. Проте правила знаходження невідомих компонентів у підручниках не подаються. Це пояснюється тим, що вчителі занадто вимогливо ставляться до заучування учнями правил напам'ять. Зрозуміло, що під час пояснення зв'язків учитель формулює правило, але не вимагає його заучувати.
Зв'язки між компонентами і результатами дій широко використовуються для перевірки правильності обчислень. Розглянемо одну з вправ з погляду її узагальнюючої ролі. Закінчіть обчислення.
6-3 = 18 7 • 4 = 28 5 • 7 = 35 6 • 5 = 30
18:6 = 32 8:7 = 4 35:5 = *30:5 = *
Учитель з'ясовує, що дістанемо, коли добуток поділимо на один з множників, і робить узагальнення: «Якщо а • b= с,то чому дорівнює частка с : а? частка с : b?»
Вправа дає змогу учню самостійно сформулювати правило: частка від ділення добутку двох чисел на один з множників дорівнює другому множнику. Такий підхід має певні переваги над заучуванням правила за підручником.
Використання букв для запису властивостей арифметичних дій запроваджується в процесі вивчення дій в концентрі «Багатоцифрові числа». В більш систематизованому вигляді з цією метою буквена символіка подана в матеріалах для повторення в кінці року. В обох випадках буквені записи подаються після словесного формулювання властивостей. Це означає, що буквені записи виступають не як вищий рівень узагальнення, а як лаконічний засіб унаочнення властивостей. У підручнику в буквеному записі подаються такі властивості:
а+ b = b + а — переставний закон додавання;
а + b+ с = а +(b+ с)— сполучний закон додавання;
а- (b+ с), (а - b) - с — записи про властивість різниці, пов'язаної з різними способами обчислення зазначених виразів;
а • b = b • a— переставний закон множення;
а • b • с = а • (Ь • с) — сполучний закон множення;
(а+ b + c)k=ak + bk + ck— розподільний закон множення відносно додавання;
c(a-b) = ca-cb— розподільний закон множення відносно віднімання.
З основними властивостями арифметичних дій в практичному плані учні зустрічаються неодноразово, тому їх буквене узагальнення не викликає утруднень. Проте слід мати на увазі, що в кінці навчального року матеріал подається в довідково-описовому вигляді. Це матеріал для побудови вчителем зв'язної розповіді. Його не варто пропонувати учням для заучування.